Streckspannung im Scherzug versus Zugfestigkeit: Die von-Mises-Beziehung

Für isotrope, duktile Materialien, die dem von-Mises-Ertragskriterium gehorchen, ist die Beziehung zwischen der Streckspannung im Scherzug (τ_y) und der einachsigen Zugstreckfestigkeit (σ_y) durch die Geometrie der Ertragsfläche festgelegt.

Ableitung

Die von-Mises-Äquivalentspannung unter einem allgemeinen Spannungszustand ist:

σ_vm = √[½{(σ₁−σ₂)² + (σ₂−σ₃)² + (σ₃−σ₁)²}]

Bei reiner Scherung (τ) sind die Hauptspannungen σ₁ = τ, σ₂ = 0, σ₃ = −τ. Einsetzen ergibt:

σ_vm = √[½{(τ−0)² + (0+τ)² + (−τ−τ)²}] = √[½{τ² + τ² + 4τ²}] = √(3τ²) = √3 τ

Beim Ertrag ist σ_vm = σ_y. Daher:

τ_y = σ_y / √3 ≈ 0.577 σ_y

Vergleich mit dem Tresca-Kriterium

Das Tresca-Kriterium (maximale Scherspannung) vorhersagt τ_y = σ_y/2 = 0.5 σ_y. Von Mises ist im Allgemeinen genauer für duktile Metalle; Tresca ist konservativer.

Praktische Implikation

Die Aussage „die Streckspannung im Scherzug entspricht der einachsigen Zugfestigkeit“ ist für von-Mises-Materialien falsch. Die Streckspannung im Scherzug beträgt etwa 57,7 % der Zugstreckfestigkeit, nicht 100 %. Diese Unterscheidung ist wichtig in der Torsionsprüfung, beim Schraubengelenkdesign und in der Finiten-Elemente-Analyse, wo das Scherertragen maßgeblich ist.