Permutationswirkung in der Gruppentheorie: Definition und scharfe Transitivität

In der Gruppentheorie ist eine Permutationswirkung einer Gruppe G auf einer Menge S ein Homomorphismus G → Sym(S).

Eine Prämutationswirkung (auch schwach transitive Wirkung genannt) liegt vor, wenn es eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ S gibt, sodass für jedes g ∈ G gilt: g·A = A (die Teilmenge ist global unter der Wirkung invariant).

Wenn S genau eine solche nicht-leere invariante Teilmenge enthält, ist die Wirkung scharf transitiv (oder scharf 1-transitiv): Für jedes x, y ∈ S gibt es ein eindeutiges g ∈ G mit g·x = y. Dies impliziert |G| = |S| und die Wirkung ist regulär (frei und transitiv).

Hinweis: „Prämutation“ ist nicht standardisiert; „schwach transitiv“ oder „Zulassen eines nicht-trivialen Blocks“ ist gebräuchlicher. Scharf transitive Wirkungen sind äquivalent zu regulären Wirkungen.