Satz (Regel von L'Hôpital)
Seien \(f\) und \(g\) differenzierbar auf einem offenen Intervall, das \(a\) enthält (möglicherweise außer bei \(a\)). Wenn
- \(\lim\limits_{x\to a} f(x) = \lim\limits_{x\to a} g(x) = 0\) oder \(\pm\infty\), und
- \(g'(x) \neq 0\) in der Nähe von \(a\) (möglicherweise außer bei \(a\)), und
- \(\lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) existiert (endlich oder \(\pm\infty\)),
dann gilt
$$\lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.$$
Aufgelöste unbestimmte Formen
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) (direkt).
- \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(0^0\), \(1^\infty\), \(\infty^0\) (algebraische Umformung in Quotientenform).
Kritische Bedingungen & Fallstricke
- Muss die unbestimmte Form vor der Anwendung verifizieren.
- Grenzwert des Quotienten der Ableitungen muss existieren (oder \(\pm\infty\) sein).
- Wiederholte Anwendung erlaubt, wenn die Bedingungen bestehen bleiben.
- Gilt nicht, wenn der Grenzwert von \(f'/g'\) nicht existiert (z. B. oszillierend).
- Kein Ersatz für algebraische Vereinfachung, wenn diese einfacher ist.
Beispiel
\(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\).
Die Regel von L'Hôpital ist ein mächtiges Werkzeug zur Auswertung unbestimmter Grenzwerte, wenn ihre Hypothesen erfüllt sind.
